کتاب آنالیز حقیقی 202009

مقدمه

مترجم
کتاب آنالیز حقیقی، تکنیک های مدرن و کاربرد آنها نوشته جرالد بی فولند را سال ۱۳۷۴ به عنوان مرجع اصلی درس آنالیز حقیقی دوره کارشناسی ارشد گروه ریاضی دانشگاه تهران معرفی نمودم. تقریبا ۱۲ سال است که از روی این کتاب آنالیز حقیقی را تدریس می کنم. اعتراف میکنم که هنوز نکات و گوشه هایی از مطالب را ضمن مطالعه و تدریس آن متوجه می شوم و می آموزم.
ترجمه این کتاب را از سال ۱۳۷۴ آغاز کرده بودم و هر سال آن را کامل تر می کردم، اما بعلت مشغله کاری و اداری مجال جمع آوری، تصحیح و انتشار آن را نیافتم. در این کتاب اثبات بخشی از قضایای مهم به خواننده واگذار شده است که بررسی آنها دقت نظر و توجه خاصی را می طلبد. بیشتر تمرین هایی که در هر بخش ارائه شده اند از کیفیت بالایی برخوردار هستند و خواننده را به تفکر وادار می نماید.
در این مدت سعی شد که قضایا بطور کامل برای دانشجویان اثبات شوند تا با استفاده از تکنیک های بکار رفته در اثبات بتوانند از عهده حل مسائل متنوع کتاب در نظریه اندازه و انتگرال گیری برآیند.
سال ۱۳۸۵ متوجه شدم این کتاب توسط همکارانم از دانشگاه صنعتی شاهرود ترجمه و توسط بنیان علوم تهران به چاپ رسیده است. بر آن شدم تا در ترجمه ویرایش دوم کتاب، نخست اثبات قضایایی که بخشی از آنها به خواننده واگذار شده است را بطور کامل تشریح نمایم. سپس مسائلی که در این مدت خارج از کتاب تهیه شده است را به عنوان تمرین های گوناگون در انتهای فصل های مربوط اضافه نمایم و در نهایت حل کامل بعضی از تمرین های مهم کتاب را به عنوان نمونه در انتهای فصل پنجم اضافه کنم. در اینجا لازم است اظهار کنم که در حل بعضی مسائل از تکنیک های ارائه شده توسط دانشجویان استفاده شده است. چون برای درس آنالیز حقیقی، سر فصل های نظریه اندازه و انتگرال گیری، مقدمات آنالیز تابعی، و فضاهای LP کافی به نظر می رسند، بر آن شدم که تنها به ارائه همین مطالب از کتاب بسنده کنم. در واقع در ترجمه حاضر سعی کرده ام بعضی مطالب و قضایا را تشریح کنم و موارد دوم و سوم بالا را نیز رعایت نمایم. امیدوارم برای دانشجویان و علاقمندان مورد مفید واقع شود. با همه وسواسی که در ترجمه داشته ام اطمینان دارم که این ترجمه خالی از نقص نیست. راهنمایی ها و تذکرهای سودمند همکاران و دانشجویان مرا در برطرف کردن این نقص ها یاری می دهد.
مسعود صباغان
مهرماه ۱۳۸۶


مقدمه نویسنده
نام «آنالیز حقیقی» معلول یک سهل انگاری تاریخی است. در اصل برای نظریه توابع با متغیر حقیقی بکار می رفته است، می بایست به موضوعات متنوع کلی تر و با طبیعت مجردی بپردازد که تاکید بیشتری روی آنالیز مدرن داشته باشد.
این نظریه های کلی و کاربرد آنها موضوع مورد بحث در این کتاب است که عمدا برای کتاب درسی آنالیز دوره تحصیلات تکمیلی در نظر گرفته می شود. فصول اول تا هفتم به مواد اصلی نظریه اندازه و انتگرال گیری، توپولوژی عمومی و آنالیز تابعی که بخشی از بیشترین مواد درسی تحصیلات تکمیلی در ریاضیات است، همراه با چند ماده درسی وابسته و غیر متعارف که فکر میکنم همه آنالیز دادن ها می بایست از آن مطلع باشند، اختصاص داده می شود. چهار فصل آخر شامل موضوعات مختلفی است که برای معرفی بعضی از شاخه های دیگر آنالیز ارائه می شوند و کاربرد موارد قبل را تشریح می کنند. اعتقاد دارم که همه این موضوعات جالب و مهم هستند، اما انتخاب آنها در ارجحیت با موضوعات دیگر، مساله کاملا شخصی است.
مواردی که دانستن آنها برای خواندن این کتاب لازم است عبارتند از :
١- اول و مهمتر از همه، نظریه کلاسیک توابع با متغیر حقیقی : حدود و پیوستگی، مشتق گیری و انتگرال گیری (ریمان)، سری های نامتناهی، همگرایی یکنواخت، و مفهوم یک فضای متری است.
۲- حساب اعداد مختلط و خواص پایه ای تابع نمایی مختلط
(ex+iy = ex (cos y + i siny ) (نتایج پیشرفته تر از نظریه توابع مختلط تنها در اثبات قضیه ریسزتورین و در چند تمرین و یاد داشت بکار برده می شود.)
٣- کمی نظریه مقدماتی مجموعه ها
۴- تا اندازهای جبر خطی و در واقع، نه فراتر از تعاریف فضای برداری، تبدیلات خطی و دترمینان.
تمام موارد لازم در (۱) و (۲) را می توان در اصول آنالیز ریاضی رودین پیدا کرد (چاپ سوم مک گروهيل ۱۹۷۶) یا کتب بعد از آن مثل روش آنالیز آر.اس. استری چارتر (جانز و بارتلت ۱۹۹۵) یا آنالیز حقیقی و مفاهیم اس جی کراتز ( انتشارات سی آر سی ۱۹۹۱). خلاصه ی اصول مربوط به مجموعه ها و فضاهای متری در فصل صفر فراهم شده است. خواننده برای شروع کتاب باید بخش های اول و پنجم فصل صفر را برای آشنا شدن به نمادها و اصطلاحات کتاب بازدید نماید. مابقی فصل صفر را می توان به عنوان پیش نیاز منظور نمود.
هر فصل با یک بخش تحت عنوان «یادداشت ها و مراجع» خاتمه می یابد. این بخش ها شامل یادداشتهای گوناگون، ارائه منابع، اشاره به نتایجی که در متن بحث نشده، مراجع برای مطالعه بیشتر، و یادداشتهای تاریخی است. یادداشتها کاملا سطحی و مختصر هستند، اگرچه منابع تفصیلی بیشتری فراهم شده، اما در واقع به این منظور که چگونگی تکامل موضوع از منشا کلاسیک خود را روشن نمایند، ارائه شده اند. خواندن بعضی از مقالات اصلی را سرگرم کننده و آموزنده دریافتم و امیدوارم دیگران را برای انجام این کار تشویق نماید.
قسمت قابل ملاحظه ای از کتاب به تمرین ها اختصاص داده می شود. بیشتر آنها به صورت ادعاهایی هستند که باید اثبات شوند و از سطح بدیهی تا مشکل ارائه می شوند. راهنمایی ها و قدم های مقدماتی برای بیشتر تمرین های پیچیده پیشنهاد می شوند. هر خواننده باید آنها را به دقت بررسی کند، هر چند که تنها علاقه مندان سعی خواهند کرد از عهده حل همه آنها برآیند. در تمرین ها چند هدف دنبال می شود : توسعه نتایج و کامل کردن برهانها در متن، بحث و گفتگو در مثال ها و مثال های نقض ، کاربرد قضایا و توسعه ایده های بیشتر. مدرسین احتمالا مایل هستند که بعضی از تمرین ها را در کلاس حل کنند. برای زیاد کردن انعطاف پذیری و کم کردن زیاده نویسی، من از اصل «وقتی شک و تردید هست، آن را به عنوان تمرین واگذار کنید» پیروی می کنم. بخصوص در مورد مثال ها. تمرین ها در آخر هر بخش آمده است، اما تعدادی در داخل هر فصل به ترتیب شماره گذاری شده اند. در مراجعه به آنها، «تمرین 7» به معنی امین تمرین در فصل حاضر است مگر آنکه بخش دیگری صراحتا اعلام شود.
موضوعات کتاب طوری مرتب شده که در ارائه آن انعطاف پذیری وجود داشته باشد. برای مثال، فصل ۴ به فصل های ۱ تا ۳ وابسته نیست مگر برای چند مثال و چند تمرین. از طرف دیگر، اگر نیاز به بررسی سریع فضاهای IP باشد، می توان از بخش ۳ فصل سوم تا بخش های اول و دوم فصل چهارم صرف نظر کرد و از آنجا به فصل پنجم پرداخت. فصول ده و یازده از فصول هشت و نه مستقل هستند بجز اینکه ایده های بخش ششم فصل هشتم در فصل دهم بکار برده می شود.
ترکیب جدید این چاپ بصورت زیر است:
• موضوعات در انتگرال لیک 7 بعدی (بخش های ششم و هفتم فصل دوم) مجددا مرتب شده و توسعه یافته اند.
• قضیه تیخانوف (بخش ششم فصل چهارم) با برهان زیبایی که توسط پول چرنوف کشف شده اثبات شده است.
• فصل آنالیز فوریه به دو فصل (هشت ونه) تقسیم شده است. موضوعات در سری های فوریه و انتگرال ها (بخش های سوم تا پنجم فصل هشتم) مجددا مرتب شده و اکنون قضیه دريشله- جردن برای همگرایی سری های فوریه را شامل است. موضوعات توزيع (بخش های اول و دوم فصل نهم) بصورت گسترده ای دوباره نویسی شده و توسعه یافته است.
• بجای محاسبات قدیمی شده بعد هاسدورف مجموعه های کانتور در بخش دوم فصل دهم قدیم، بخشی شامل خود تشابه و بعد هاسدورف (بخش 3 از فصل یازدهم اضافه شده است.
• تغییرات کوچک زیادی برای بهبود وضعیت ایجاد شده اند. نویسنده یک کتاب درسی از موضوع خوب توسعه یافته آنالیز حقیقی باید الزاما به اسلاف خود مدیون باشد. من کتب زیادی هنگام نوشتن این کتاب در اختیار گرفتم. تعداد آنها برای ارائه اینجا بسیار زیاد است اما بیشتر آنها را میتوان در کتابشناسی پیدا کرد. همچنین خوشحال هستم از تاثیرگذاری دو تا از معلمین خود قدردانی کنم. مرحوم لین لومیس که از تدریس ایشان من اول بار موضوع این کتاب را آموختم، و الیاس استاین که نقطه نظرات من را بسیار شکل داد. بالاخره از تعدادی
افراد متشکر هستم، بخصوص استیون کرنتز، کنت رز و ویلیام فارس که توصیه های آنها و اصلاحیه های مربوط به چاپ اول کمک کرد تا چاپ جدید را آماده نمایم.
سیاتل، واشنگتون
جرالد بی فولند